Skocz do zawartości

  •  
  • Mini kompendium
  • MimeTeX
  • Regulamin





- - - - -

Zadanie 3

Napisane przez lost, 24 May 2014 · 760 wyświetleń

Jednorodna belka o długości L i masie m wykonuje małe drgania wokół poziomego położenia równowagi. Sprężyny są liniowe, a tłumiki wiskotyczne. Obliczyć częstość kołową drgań \omega, częstotliwość f oraz okres T swobodnych z tłumieniem układu. Równanie ruchu wyprowadzić korzystając z równań Lagrange’a II rodzaju. Dane: m, L, c, k.
Dołączona grafika

Rozwiązanie:

Współrzędną, w oparciu o którą rozwiązane zostanie zadanie jest współrzędna kąta obrotu belki \phi.

Wyznaczam zastępczą sztywność sprężyny:

k_z=\frac{k\cdot k}{k+k}=\frac{k}{2}

Wyznaczam energie- kinetyczną, potencjalną i dysypacji. Przy czym energia potencjalna masy pręta powodująca ugięcia statyczne w sprężynach nie jest uwzględniana, co wynika z nieuwzględnienia ugięć statycznych w sprężynach.

E=[\frac{1}{12}mL^2+(\frac{1}{6}L)^2m]\cdot \frac{\dot{\phi}^2}{2}\\ E=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{9}\cdot mL^2 \dot{\phi}^2 \\ V=\frac{k_z}{2}\cdot(\frac{2}{3}L \phi)^2=\frac{k_z}{2}\cdot \frac{4}{9}\cdot L^2 \phi^2 \\ V=\frac{1}{2}\cdot \frac{2}{9}\cdot k L^2 \phi^2 \\ D=2\cdot \frac{c}{2}\cdot (\frac{1}{3}L \dot{\phi})^2 \\ D= \frac{1}{2}\cdot \frac{2}{9}\cdot c L^2 \dot{\phi}^2

Wyznaczam pochodne równania Lagrange'a:

\frac{\partial E}{\partial \dot{\phi}}=\frac{1}{9}\cdot mL^2 \dot{\phi} \\ \frac{d}{dt}(\frac{\partial E}{\partial \dot{\phi}})=\frac{1}{9}\cdot mL^2 \ddot{\phi} \\ \frac{\partial E}{\partial \phi}=0 \\ \frac{\partial V}{\partial \phi}= \frac{2}{9}\cdot k L^2 \phi \\ \frac{\partial D}{\partial \dot{\phi}}=\frac{2}{9}\cdot c L^2 \dot{\phi}

Podstawiam do wzoru Lagrange'a.

\frac{d}{dt}(\frac{\partial E}{\partial \dot{\phi}})-\frac{\partial E}{\partial \phi}+\frac{\partial V}{\partial \phi}+\frac{\partial D}{\partial \dot{\phi}}=0 \\ \frac{1}{9}\cdot mL^2 \ddot{\phi}+\frac{2}{9}\cdot cL^2 \dot{\phi}+\frac{2}{9}\cdot k L^2 \phi=0 \\ \ \ddot{\phi}+\frac{2c}{m} \dot{\phi}+\frac{2 k}{m} \phi=0

W takim przypadku częstość drgań swobodnych wynosi:

\omega_o=\sqrt{\frac{2k}{m}}.

A współczynnik tłumienia:

\beta=\frac{1}{2}\cdot \frac{2c}{m} \\ \beta=\frac{c}{m}

W przypadku, kiedy \omega>\beta występują drgania harmoniczne tłumione, a ich częstość jest równa:

\omega=\sqrt{\omega_o^2-\beta^2} \\ \omega=\sqrt{\frac{2k}{m}-(\frac{c}{m})^2}.

Częstotliwość i okres drgań wynoszą odpowiednio:

f=\frac{\omega}{2 \pi} \\ T=\frac{1}{f}

  • 0