Skocz do zawartości

  •  
  • Mini kompendium
  • MimeTeX
  • Regulamin





- - - - -

Zadanie 2

Napisane przez lost, 24 May 2014 · 773 wyświetleń

Wózek o masie m_1 w kształcie klina o kącie nachylenia \alpha porusza się na czterech kołach 3 po poziomej powierzchni pod wpływem poziomej siły P. Na wózku znajduje się klocek 2 o masie m_2 przymocowany do korpusu wózka za pomocą sprężyny o współczynniku sztywności k. Koła 3 o masach m_3 i promieniach r toczą się bez poślizgu. Wykorzystując równania Lagrange’a II rodzaju, określić równania różniczkowe ruchu układu, przyjmując za współrzędne uogólnione współrzędne x oraz s. Koła potraktować jako jednorodne walce.

Dołączona grafika

Rozwiązanie:

Aby wyznaczyć prędność wzglęną masy m_2 należy skorzystać z twierdzenia cosinusów. Przykłądowy układ wektorów prędkości przedstawiono na poniższym rysunku.

Dołączona grafika
Kwadrat prędkości względnej ma postać:
v_w^2=\dot{x}^2+\dot{s}^2-2\dot{x}\dot{s}cos \alpha

Masowy moment bezwładności pojedynczego koła ma wartość:
J_3=\frac{1}{2}m_3r^2

Prędkości- liniowa oraz kątowa- z jakimi porusza się koło wynosą:
\dot{x}_3=\dot{x} \\ \dot{\phi}_3=\frac{\dot{x}}{r}

Energia kinetyczna układu mas wynosi:
E=\frac{m_1\dot{x}^2}{2}+\frac{m_2{v_w}^2}{2}+4\cdot \frac{m_3\dot{x_3}^2}{2}+4\cdot \frac{J_3 \dot{\phi_3}^2}{2} \\ E=\frac{m_1\dot{x}^2}{2}+\frac{m_2(\dot{x}^2+\dot{s}^2-2\dot{x}\dot{s}cos \alpha)}{2}+4\cdot \frac{m_3\dot{x}^2}{2}+4\cdot \frac{\frac{1}{2}m_3r^2 (\frac{\dot{x}}{r})^2}{2} \\ E=\frac{m_1\dot{x}^2}{2}+\frac{m_2(\dot{x}^2+\dot{s}^2-2\dot{x}\dot{s}cos \alpha)}{2}+4\cdot \frac{m_3\dot{x}^2}{2}+2\cdot \frac{m_3 \dot{x}^2}{2}

Obliczam pochodne energii kinetycznej:
\frac{\partial E}{\partial \dot{x}}=m_1\dot{x}+m_2\dot{x}-m_2\dot{s}cos\alpha+4m_3\dot{x}+2m_3\dot{x} \\ \frac{d}{dt}(\frac{\partial E}{\partial \dot{x}})=m_1\ddot{x}+m_2\ddot{x}-m_2\ddot{s}cos\alpha+6m_3\ddot{x} \\ \frac{d}{dt}(\frac{\partial E}{\partial \dot{x}})=(m_1+m_2+6m_3)\ddot{x}-m_2cos\alpha\ddot{s} \\ \frac{\partial E}{\partial x}=0 \\ \frac{\partial E}{\partial \dot{s}}=m_2 \dot{s}-m_2cos\alpha \dot{x} \\ \frac{d}{dt} (\frac{\partial E}{\partial \dot{s}})=-m_2cos\alpha \ddot{x}+m_2 \ddot{s} \\ \frac{\partial E}{\partial s}=0

Obliczam energię kinetyczną:
V=\frac{ks^2}{2}

Obliczam pochodne energii kinetycznej:
\frac{\partial V}{\partial x}=0 \\ \frac{\partial V}{\partial s}=ks

Obliczam siłę uogólnioną:
\delta W=P\delta x=Q_{x1}\delta x \\ Q_{x1}=P

Po podstawieniu uzyskuje się równania w następującej postaci:
(m_1+m_2+6m_3)\ddot{x}-m_2cos\alpha \ddot{s}=P \\ -m_2 cos\alpha \ddot{x}+m_2 \ddot{s}+ks=0

Ostatecznie równania są następujące:
(m_1+m_2+6m_3)\ddot{x}-m_2cos\alpha \ddot{s}=P \\ -m_2 cos\alpha \ddot{x}+m_2 \ddot{s}+ks=0

  • 0