Wiele osób myśli zapewne, że święto zakochanych, czyli tak zwane Walentynki, odbywają się 14. lutego. Osoby te mają rację, bo tak faktycznie jest. W związku z tym zupełnie nie wiem dlaczego znak tego święta - symbol serca, pojawił się w moich rozważaniach już, a może dopiero, pod koniec czerwca. Tak czy inaczej postanowiłem zastanowić się jak w miarę dokładnie można opisać równaniami znany wszystkim kształt serca.
Wikipedia pod koniec >>>tego<<< artykułu rzecze tak: "Krzywą przypominającą swym kształtem serce, zwaną kardioidą przedstawia równanie lub, we współrzędnych biegunowych, ."
Wpisujemy jedno z powyższych równań do programu rysującego wykresy i naszym oczom ukazuje się coś takiego:
Niby jest serce, ale jednak odczułem pewien niedosyt i postanowiłem samodzielnie stworzyć nieco inny kształt.
Pierwsze próby przyniosły coś takiego:
Część nad osią tworzą dwa półokręgi, a dolna część to po prostu dwa odcinki. Taką krzywą dostaniemy rysując w jednym układzie wykresy funkcji
oraz dla .
Widać już w jakim kierunku poszedłem, ale efekt wciąż nie jest zadowalający. Szczególnie przeszkadzały mi "kanty" w oraz .
Jak to wyeliminować? Ano można by wziąć trochę większe części okręgów niż tylko połowy i "przejść" do odcinków w takich punktach, aby nie powstały "kanty".
Ze względu na symetrię zajmiemy się znalezieniem takiego "punktu łagodnego przejścia" tylko w prawej połowie serca (czyli dla -ów dodatnich).
Żeby znaleźć taki punkt musimy sobie najpierw ustalić współrzędne dolnego wierzchołka serca. Na poprzednim wykresie jest to punkt .
Rozważmy ogólniejszą sytuację, mianowicie punkt , gdzie jest ujemne (żeby dolny wierzchołek nie był wyżej od górnego, który ma współrzędne ).
Dodatkowo niech okręgi, których części będą tworzyć nasze serce mają środki w punktach oraz i promienie równe . Niech nasz "punkt łagodnego przejścia", którego szukamy to będzie .
Punkt należy do okręgu o równaniu oraz do odcinka leżącego na prostej o równaniu , które można zapisać w tradycyjnej postaci jako .
Cała sztuczka polega teraz na zauważeniu, że "kantu" nie będzie wtedy, gdy styczna do okręgu w punkcie pokrywać się będzie z prostą przechodzącą przez i .
Równanie stycznej do naszego okręgu w punkcie to: , co zapisane w wygodniejszej postaci wygląda tak: .
Skoro wspomniane proste mają się pokrywać, to odpowiednie współczynniki w ich równaniach muszą być równe. Stąd układ równań
Z układu tego łatwo wyznaczamy
Znaleźliśmy więc punkt w zależności od .
Teraz tylko kwestia jak powiedzieć programowi, żeby nam przy danym narysował fragment okręgu od punkt do , a potem odcinek.
Tutaj chwilę musiałem pomyśleć, ale ostatecznie nasze serce (bez jednego punktu, co praktycznie nie wpływa na wykres) da się opisać jednym równaniem
Na pierwszy rzut oka nie wiadomo skąd ono się wzięło, ale pokrótce i niezbyt ściśle, to wygląda tak: te nawiasy z funkcją >signum< "sprawdzają" czy odległość danego punktu płaszczyzny od wierzchołka jest mniejsza czy większa od i w każdym z tych przypadków jeden z nawiasów "zeruje się" a drugi przyjmuje jakąś niezerową wartość.
Jak już nawiasy z funkcją signum "wykonają swoją robotę", to zostanie nam jeden nawias bez funkcji signum, mianowicie lub . Zawartość pierwszego przypomina trochę równanie okręgu, a drugiego równanie prostej. Dodatkowo zastąpienie przez spowodowało odbicie wykresu względem osi .
Teraz już wszystko powinno się wyjaśnić
Pozostaje przypadek punktów dla których odległość od jest równa , ale że zaniedbanie przeze mnie tego przypadku nie okazało się w dalszej pracy zgubne w skutkach, to już się tym potem nie zajmowałem.
Teraz coś, co powinno trochę pomóc w zrozumieniu tego wpisu, mianowicie wykres tego groźnie wyglądającego równania dla
Jak widać, opłacało się trochę pomęczyć, bo efekt jest już zadowalający.
Ale oczywiście może być lepiej. Dobrze by było jakby nasze serce miało nieco bardziej opływowy kształt, szczególnie u dołu. Oznacza to zastąpienie odcinków jakimiś innymi, łagodnie "wygiętymi" krzywymi.
Najpierw kombinowałem z wykresem funkcji w okolicach punktu przegięcia, ale ostatecznie stwierdziłem, że lepszy efekt da fragment wykresu funkcji tangens.
Ze względu na skomplikowane obliczenia porzuciłem wszelkie analityczno-algebraiczne rozważania i po prostu metodą prób i błędów stworzyłem taki układ warunków
lub
Zbiór punktów, których współrzędne spełniają powyższą alternatywę wygląda mniej więcej tak:
I na tym kształcie już poprzestałem
Jeśli ktoś znajdzie inny kształt serca lub ładniejsze równanie, które by go opisywało to zapraszam do podzielenia się swoimi wynikami.
Wikipedia pod koniec >>>tego<<< artykułu rzecze tak: "Krzywą przypominającą swym kształtem serce, zwaną kardioidą przedstawia równanie lub, we współrzędnych biegunowych, ."
Wpisujemy jedno z powyższych równań do programu rysującego wykresy i naszym oczom ukazuje się coś takiego:
Niby jest serce, ale jednak odczułem pewien niedosyt i postanowiłem samodzielnie stworzyć nieco inny kształt.
Pierwsze próby przyniosły coś takiego:
Część nad osią tworzą dwa półokręgi, a dolna część to po prostu dwa odcinki. Taką krzywą dostaniemy rysując w jednym układzie wykresy funkcji
oraz dla .
Widać już w jakim kierunku poszedłem, ale efekt wciąż nie jest zadowalający. Szczególnie przeszkadzały mi "kanty" w oraz .
Jak to wyeliminować? Ano można by wziąć trochę większe części okręgów niż tylko połowy i "przejść" do odcinków w takich punktach, aby nie powstały "kanty".
Ze względu na symetrię zajmiemy się znalezieniem takiego "punktu łagodnego przejścia" tylko w prawej połowie serca (czyli dla -ów dodatnich).
Żeby znaleźć taki punkt musimy sobie najpierw ustalić współrzędne dolnego wierzchołka serca. Na poprzednim wykresie jest to punkt .
Rozważmy ogólniejszą sytuację, mianowicie punkt , gdzie jest ujemne (żeby dolny wierzchołek nie był wyżej od górnego, który ma współrzędne ).
Dodatkowo niech okręgi, których części będą tworzyć nasze serce mają środki w punktach oraz i promienie równe . Niech nasz "punkt łagodnego przejścia", którego szukamy to będzie .
Punkt należy do okręgu o równaniu oraz do odcinka leżącego na prostej o równaniu , które można zapisać w tradycyjnej postaci jako .
Cała sztuczka polega teraz na zauważeniu, że "kantu" nie będzie wtedy, gdy styczna do okręgu w punkcie pokrywać się będzie z prostą przechodzącą przez i .
Równanie stycznej do naszego okręgu w punkcie to: , co zapisane w wygodniejszej postaci wygląda tak: .
Skoro wspomniane proste mają się pokrywać, to odpowiednie współczynniki w ich równaniach muszą być równe. Stąd układ równań
Z układu tego łatwo wyznaczamy
Znaleźliśmy więc punkt w zależności od .
Teraz tylko kwestia jak powiedzieć programowi, żeby nam przy danym narysował fragment okręgu od punkt do , a potem odcinek.
Tutaj chwilę musiałem pomyśleć, ale ostatecznie nasze serce (bez jednego punktu, co praktycznie nie wpływa na wykres) da się opisać jednym równaniem
Na pierwszy rzut oka nie wiadomo skąd ono się wzięło, ale pokrótce i niezbyt ściśle, to wygląda tak: te nawiasy z funkcją >signum< "sprawdzają" czy odległość danego punktu płaszczyzny od wierzchołka jest mniejsza czy większa od i w każdym z tych przypadków jeden z nawiasów "zeruje się" a drugi przyjmuje jakąś niezerową wartość.
Jak już nawiasy z funkcją signum "wykonają swoją robotę", to zostanie nam jeden nawias bez funkcji signum, mianowicie lub . Zawartość pierwszego przypomina trochę równanie okręgu, a drugiego równanie prostej. Dodatkowo zastąpienie przez spowodowało odbicie wykresu względem osi .
Teraz już wszystko powinno się wyjaśnić
Pozostaje przypadek punktów dla których odległość od jest równa , ale że zaniedbanie przeze mnie tego przypadku nie okazało się w dalszej pracy zgubne w skutkach, to już się tym potem nie zajmowałem.
Teraz coś, co powinno trochę pomóc w zrozumieniu tego wpisu, mianowicie wykres tego groźnie wyglądającego równania dla
Jak widać, opłacało się trochę pomęczyć, bo efekt jest już zadowalający.
Ale oczywiście może być lepiej. Dobrze by było jakby nasze serce miało nieco bardziej opływowy kształt, szczególnie u dołu. Oznacza to zastąpienie odcinków jakimiś innymi, łagodnie "wygiętymi" krzywymi.
Najpierw kombinowałem z wykresem funkcji w okolicach punktu przegięcia, ale ostatecznie stwierdziłem, że lepszy efekt da fragment wykresu funkcji tangens.
Ze względu na skomplikowane obliczenia porzuciłem wszelkie analityczno-algebraiczne rozważania i po prostu metodą prób i błędów stworzyłem taki układ warunków
lub
Zbiór punktów, których współrzędne spełniają powyższą alternatywę wygląda mniej więcej tak:
I na tym kształcie już poprzestałem
Jeśli ktoś znajdzie inny kształt serca lub ładniejsze równanie, które by go opisywało to zapraszam do podzielenia się swoimi wynikami.