Skocz do zawartości

  •  
  • Mini kompendium
  • MimeTeX
  • Regulamin





- - - - -

O najmniejszym możliwym obwodzie ogólniej

Napisane przez Ereinion, 17 April 2010 · 2574 wyświetleń

Inne
Tych, którzy, sugerując się tą ponad miesięczną przerwą, mieli nadzieję, że zakończyłem działalność na blogu, muszę zmartwić - oto kolejny wpis Dołączona grafika

Pod koniec ostatniego wpisu tradycyjnie zachęcałem do rozważenia poruszanego problemu nieco ogólniej i, ku mojej uciesze, na ten apel odpowiedział niezawodny kolega Tomalla, który napisał:

Tak z ciekawości bawiłem się tymi łamanymi na wielokątach foremnych z większą ilością boków. Zauważyłem następującą zależność:

Mamy wielokąt foremny A_1B_1C_1... o n bokach długości a. Na każdym boku odkładamy jeden punkt, a następnie łączymy je kolejno tworząc inny wielokąt ( dajmy na to ABC... ) o n bokach. Najmniejszy możliwy obwód wielokąta ABC... dany jest wtedy wzorem:

\re L_{min}\, =\, \frac{1}{2}n\cdot a\sqrt{2-2 cos{(\pi-\frac{2\pi}{n})}}

Korzystałem przy tym z tw. cosinusów. Zauważyć zależność to jedna rzecz, z udowodnieniem tego byłby jednak mały kłopot Dołączona grafika Tak z ciekawości, potrafiłbyś to udowodnić? (...)

Intuicyjnie można czuć, że wynik podany przez Tomallę jest poprawny, jednak pierwsze kilka podejść do formalnego dowodu zakończyłem niepowodzeniem. W tym wpisie chciałbym przedstawić, co ostatecznie udało mi się w tej kwestii zrobić.

Na początku zmieńmy troszkę oznaczenia.

Niech wielokątem foremnym o boku długości a będzie A_1 A_2 ... A_n, a wielokątem "wpisanym" B_1 B_2 ... B_n, przy czym B_1 \in A_1 A_2, \ B_2 \in A_2 A_3, \ \dots \ , B_n \in A_n A_1.

Dodatkowo niech x_i=|A_i B_i| (tu i dalej będzie i=1,\ 2,\ \dots \ , n) oraz niech d będzie długością obwodu wielokąta B_1 B_2 ... B_n.

Oprócz tego przekształćmy trochę zaproponowane przez Tomallę L_{min}. Jako że \cos(\pi - \alpha)=-\cos(\alpha) to można zapisać L_{min}= \frac{a \cdot n}{2}\sqrt{2+2 \cos\(\frac{2\pi}{n}\)}=\frac{a \cdot n}{2} \sqrt{c}, gdzie c=2+2 \cos\(\frac{2\pi}{n}\).

Rozpoczynając rozważania, z różnych powodów szybko porzuciłem próby dowodu czysto geometrycznego, skłaniając się raczej ku podejściu algebraicznemu.

Problem byłby rozwiązany gdybyśmy udowodnili nierówność d \ \ge \ L_{min}, ponieważ przypadek d=L_{min} możemy osiągnąć łącząc środki boków naszego wielokąta foremnego.

Skupmy się na d. Każdy kto wykona sobie rysunek pomocniczy dostrzeże, że z tw. cosinusów mamy

|B_1 B_2|=\sqrt{|B_1 A_2|^2 + |A_2 B_2|^2 - 2 \cdot |B_1 A_2| \cdot  |A_2 B_2| \cdot \cos\(\angle B_1 A_2 B_2\) }= \\[/center]<br /> <br />=\sqrt{(a-x_1)^2 + x_2^2 - 2 \cdot (a-x_1)x_2 \cdot \cos\(\frac{(n-2) \pi}{n}\)}=\\<br />=\sqrt{(a-x_1)^2 + x_2^2 - 2 \cdot (a-x_1)x_2 \cdot \cos\(\pi - \frac{2 \pi}{n}\)}=\\<br />=\sqrt{(a-x_1)^2 + x_2^2 + 2 \cdot (a-x_1)x_2 \cdot \cos\(\frac{2 \pi}{n}\)}=\\<br />=\sqrt{(a-x_1 - x_2)^2 + (a-x_1)x_2 \cdot \( 2+2\cos\(\frac{2 \pi}{n}\) \)}=\\<br />=\sqrt{(a-x_1 - x_2)^2 + (a-x_1)x_2 \cdot c}


Tak więc

d=\sum_{i=1} ^n |B_i B_{i+1}|=\sum_{i=1} ^n \sqrt{(a-x_i - x_{i+1})^2 + (a-x_i)x_{i+1} \cdot c}



przy czym x_{n+1}=x_1 oraz B_{n+1}=B_1.

Nierówność d \ \ge \ L_{min} czyli po podstawieniu

\sum_{i=1} ^n \sqrt{(a-x_i - x_{i+1})^2 + (a-x_i)x_{i+1} \cdot c} \ \ge \ \frac{a \cdot n}{2} \sqrt{c}



okazała się trudna do udowodnienia w tej postaci i przez długi czas nie mogłem z tego miejsca wybrnąć.

Po pewnym czasie pojawił się taki pomysł:

Załóżmy, że jeden z punktów B_i (powiedzmy B_j) jest "ruchomy" (może się poruszać po odcinku A_j A_{j+1}) a pozostałe z tych punktów są stałe. Jak wtedy zminimalizować d?

Przede wszystkim zmiana położeniu punktu B_j wpływa tylko na zmianę długości odcinków |B_{j-1} B_j| i |B_j B_{j+1}|.
Wobec tego powstaje pytanie dla jakiego położenia punktu B_j suma |B_{j-1} B_j| + |B_j B_{j+1}| jest najmniejsza?
I tutaj z pomocą przychodzi nam ostatni wpis na tym blogu, a konkretniej pomysł z odbijaniem symetrycznym pewnych punktów.

Spójrzmy na rysunek:
Załączona grafika

Opierając się na rozważaniach ze wspomnianego poprzedniego wpisu łatwo dowieść, że suma |B_{j-1} B_j| + |B_j B_{j+1}| jest najmniejsza gdy B_j=E. Teraz pytanie ile w takim razie będzie wynosić x_j?

Zauważmy, że \Delta B_{j-1} A_j E \sim \Delta E A_{j+1} B_{j+1} wobec czego

\frac{|A_j E|}{|EA_{j+1}|}=\frac{|B_{j-1} A_{j}|}{|A_{j+1} B_{j+1}|}



\frac{x_j}{a-x_j}=\frac{a-x_{j-1}}{x_{j+1}}



Możemy sobie teraz wyobrazić, że bierzemy punkt B_{j+1} i powtarzamy z nim tę zabawę czyli minimalizujemy sumę |B_{j} B_{j+1}| + |B_{j+1} B_{j+2}|.

Następnie robimy to z kolejnym wierzchołkiem i tak aż dojdziemy z powrotem do B_j. Może się okazać, że punkt B_j ponownie wymaga przesunięcia (bo być może poruszyliśmy punkty B_{j-1} i B_{j+1}) więc ponownie "poprawiamy" wszystkie wierzchołki B_i.

Ta zabawa zakończy się (chociaż nad formalnym dowodem tego jeszcze pracuję) w momencie, gdy wszystkie z punktów B_i będą "poprawione" (celowo nie definiuje formalnie operacji "poprawiania", to na czym ona polega wynika bezpośrednio z poprzednich akapitów i rysunku pomocniczego).

Otrzymany w ten sposób wielokąt B_1 B_2 ... B_n ma najmniejszy możliwy obwód. Żeby to pokazać, zauważmy, że gdyby istniał wielokąt "wpisany" B'_1 B'_2 ... B'_n o mniejszym obwodzie oraz taki którego przynajmniej jeden z wierzchołków nie jest "poprawiony" to można by było na nim wykonać operację "poprawiania" zmniejszając jego obwód. Sprzeczność z założeniem o minimalności obwodu.

Przyjmijmy, że wykonaliśmy opisaną operację i mamy już optymalny wielokąt B_1 B_2 ... B_n (tzn. taki z najmniejszym d).

Wiemy, że

\frac{x_i}{a-x_i}=\frac{a-x_{i-1}}{x_{i+1}} dla każdego i, przy czym x_{n+1}=x_1 oraz x_0=x_n \ \ \ \ \ \ \ (*).

W tym momencie również przez pewien czas nie miałem pomysłu co z tym dalej zrobić, ale zacząłem od prostego zabiegu "kosmetycznego" - zwiększenia o 1 indeksów (co swoją drogą okazało się zupełnie niepotrzebne), czyli

\frac{x_{i+1}}{a-x_{i+1}}=\frac{a-x_i}{x_{i+2}}



a stąd

x_{i+2}=\frac{(a-x_i)(a-x_{i+1})}{x_{i+1}}



x_{i+2}=\frac{a^2 - a(x_i + x_{i+1})}{x_{i+1}}+x_i



x_{i+2}-x_i=\frac{a^2 - a(x_i + x_{i+1})}{x_{i+1}}



Łatwo zrozumieć, że gdybyśmy powyższą równość zapisali dla każdego i i dodali wszystkie te równości stronami, to otrzymalibyśmy

0=\sum_{i=1}^n \frac{a^2 - a(x_i + x_{i+1})}{x_{i+1}}



i po podzieleniu stronami przez a

\sum_{i=1}^n \frac{a - (x_i + x_{i+1})}{x_{i+1}}=0



a stąd

\sum_{i=1}^n \frac{a - x_i}{x_{i+1}}=n



Wracając do równania (*) zauważymy bardzo ciekawą rzecz, mianowicie \frac{a - x_i}{x_{i+1}}=\frac{x_i}{a-x_{i-1}}.

Wobec tego

n=\sum_{i=1}^n \frac{a - x_i}{x_{i+1}}=\sum_{i=1}^n \frac{x_i}{a-x_{i-1}}=\sum_{i=1}^n \frac{x_{i+1}}{a-x_{i}}.



Mamy interesującą sytuację: suma pewnych n liczb dodatnich jest równa sumie ich odwrotności i obie wynoszą n. Co to oznacza?

To oznacza np tyle, że równe są średnia arytmetyczna i średnia harmoniczna tych liczb.

Przypominając sobie kiedy zachodzi równość w nierówności Cauchy'ego między średnimi dochodzimy do wniosku, że wszystkie liczby \frac{a - x_i}{x_{i+1}} są równe.

Skoro jest ich n i w sumie dają n, to dla każdego i mamy \frac{a - x_i}{x_{i+1}}=1 no a stąd a=x_i+x_{i+1}.

Pisząc tę ostatnią równość dla wszystkich i i dodając stronami dostajemy

2 \cdot \sum_{i=1}^n x_i=a \cdot n czyli \sum_{i=1}^n x_i= \frac{a \cdot n}{2}.



Uff... wróćmy teraz do początku naszych rozważań i do wzoru na d, który wyprowadziliśmy:

d=\sum_{i=1} ^n \sqrt{(a-x_i - x_{i+1})^2 + (a-x_i)x_{i+1} \cdot c}



Widzimy, że w rozważanym przez nas przypadku (a-x_i - x_{i+1})^2 = 0 oraz (a-x_i)x_{i+1}=x_{i+1}^2, więc

[center]d=\sum_{i=1} ^n \sqrt{c \cdot x_{i+1}^2}=\sqrt{c} \cdot \sum_{i=1} ^n x_{i+1} = \sqrt{c} \cdot \frac{a \cdot n}{2} = L_{min}



A więc nasze przypuszczenia zostały udowodnione: rozważaliśmy wielokąt B_1 B_2 ... B_n z najmniejszym możliwym obwodem i otrzymaliśmy, że ten obwód wynosi właśnie L_{min}.

Kwestię czy L_{min} jest rzeczywiście osiągalne, jak już na początku wspomniałem, rozstrzygnąć łatwo - wystarczy połączyć środki kolejnych boków danego n-kąta foremnego.
Jednak powstaje pytanie: czy nie da się w inny sposób skonstruować wielokąta B_1 B_2 ... B_n dla którego d=L_{min}?

Zostawiam do przemyśleń i gratuluje wytrwałości wszystkim osobom, które dobrnęły do ostatniej linijki tego wpisu Dołączona grafika

  • 0



Ostatni odwiedzający

Ostatnie komentarze

Buttony