0
Jakich dzielników więcej?
Napisane przez Ereinion,
22 February 2010
·
2187 wyświetleń
Teoria Liczb
Jest to już dziesiąty - jubileuszowy wpis na tym blogu, więc postaram się w końcu napisać coś ciekawego.
Tematem tego wpisu będzie następujące twierdzenie:
"Każda liczba naturalna ma co najmniej tyle dzielników postaci co dzielników postaci ."
Twierdzenie to jest bardzo ogólne (dotyczy w końcu każdej liczby naturalnej, bez dodatkowych założeń) i może się wydawać, że jego dowód będzie trudny. Przekonamy się, że tak nie jest.
Zacznijmy od kilku prostych spostrzeżeń:
1. Iloczyn dwóch liczb postaci jest liczbą postaci (umawiamy się, że tu i dalej nie oznacza konkretnej liczby naturalnej, ale dowolną, być może za każdym razem inną liczbę naturalną, mam nadzieję, że nie doprowadzi to do nieporozumień).
Dowód:
2. Iloczyn dwóch liczb postaci jest liczbą postaci .
Dowód:
3. Iloczyn liczby postaci i liczby postaci jest liczbą postaci .
Dowód:
4. Każda liczba parzysta jest postaci albo .
Dowód:
5. Tezę z twierdzenia wystarczy udowodnić dla liczb nieparzystych.
Dowód:
Teraz możemy już przejść do dowodu twierdzenia .
Na mocy 5. każdą liczbę interesującą nas w tym dowodzie możemy zapisać jako , gdzie to różne nieparzyste liczby pierwsze, a to dodatnie liczby całkowite.
Dowód będzie indukcyjny ze względu na .
Przypadek czyli jest trywialny, sprawdźmy więc .
Mamy . Wszystkie dzielniki to .
Zauważmy, że liczby są zawsze postaci , co wynika ze spostrzeżeń 1. oraz 2.
Tych liczb jest ( to część całkowita liczby ).
Wobec tego dzielników postaci jest co najwyżej .
Wykażemy teraz, że .
Dla parzystego mamy i jak łatwo sprawdzić nierówność zachodzi, natomiast dla nieparzystego mamy i staje się równością.
Załóżmy teraz, że twierdzenie jest prawdziwe dla pewnego . Pokażemy, że jest prawdziwe również, dla .
Niech oraz oraz niech oznacza liczbę dzielników mających postać , a liczbę dzielników mających postać .
Z założenia indukcyjnego .
Wszystkie dzielniki to dzielniki mnożone kolejno przez .
Jeżeli jest postaci to wszystkie z wypisanych liczb też, wobec czego ma dzielników postaci oraz dzielników postaci .
Oczywiście a to kończy dowód.
Jeśli natomiast jest postaci to pamiętając o spostrzeżeniach 1., 2. i 3. oraz przypominając sobie rozumowanie z dowodu dla stwierdzamy, że liczba dzielników postaci to
a dzielników postaci mamy .
Wystarczy zatem wykazać nierówność
przekształcając równoważnie:
co po rozłożeniu na czynniki daje
Jednak ta nierówność jest prawdziwa na mocy założenia indukcyjnego oraz nierówności . Tym samym dowód twierdzenia został zakończony
Teraz może pojawić się chęć sprawdzenia jak się sprawa ma z innymi postaciami dzielników, np których jest więcej: tych postaci czy . Okazuje się, że akurat tego przypadku nie można rozstrzygnąć, bo np. liczba ma dzielnik postaci oraz zero dzielników postaci , a już liczba ma dzielnik postaci i dzielniki postaci .
Zachęcam do dalszego drążenia tematu.
Na koniec jeszcze kilka zadanek pasujących choć trochę tematycznie:
1. Udowodnić, że liczb pierwszych jest nieskończenie wiele.
2. Udowodnić, że liczb pierwszych postaci jest nieskończenie wiele.
3. Udowodnić, że liczb pierwszych postaci jest nieskończenie wiele.
(oczywiście w zadaniach 2. i 3. nie korzystamy z twierdzenie Dirichleta )
Tematem tego wpisu będzie następujące twierdzenie:
"Każda liczba naturalna ma co najmniej tyle dzielników postaci co dzielników postaci ."
Twierdzenie to jest bardzo ogólne (dotyczy w końcu każdej liczby naturalnej, bez dodatkowych założeń) i może się wydawać, że jego dowód będzie trudny. Przekonamy się, że tak nie jest.
Zacznijmy od kilku prostych spostrzeżeń:
1. Iloczyn dwóch liczb postaci jest liczbą postaci (umawiamy się, że tu i dalej nie oznacza konkretnej liczby naturalnej, ale dowolną, być może za każdym razem inną liczbę naturalną, mam nadzieję, że nie doprowadzi to do nieporozumień).
Dowód:
2. Iloczyn dwóch liczb postaci jest liczbą postaci .
Dowód:
3. Iloczyn liczby postaci i liczby postaci jest liczbą postaci .
Dowód:
4. Każda liczba parzysta jest postaci albo .
Dowód:
5. Tezę z twierdzenia wystarczy udowodnić dla liczb nieparzystych.
Dowód:
Teraz możemy już przejść do dowodu twierdzenia .
Na mocy 5. każdą liczbę interesującą nas w tym dowodzie możemy zapisać jako , gdzie to różne nieparzyste liczby pierwsze, a to dodatnie liczby całkowite.
Dowód będzie indukcyjny ze względu na .
Przypadek czyli jest trywialny, sprawdźmy więc .
Mamy . Wszystkie dzielniki to .
Zauważmy, że liczby są zawsze postaci , co wynika ze spostrzeżeń 1. oraz 2.
Tych liczb jest ( to część całkowita liczby ).
Wobec tego dzielników postaci jest co najwyżej .
Wykażemy teraz, że .
Dla parzystego mamy i jak łatwo sprawdzić nierówność zachodzi, natomiast dla nieparzystego mamy i staje się równością.
Załóżmy teraz, że twierdzenie jest prawdziwe dla pewnego . Pokażemy, że jest prawdziwe również, dla .
Niech oraz oraz niech oznacza liczbę dzielników mających postać , a liczbę dzielników mających postać .
Z założenia indukcyjnego .
Wszystkie dzielniki to dzielniki mnożone kolejno przez .
Jeżeli jest postaci to wszystkie z wypisanych liczb też, wobec czego ma dzielników postaci oraz dzielników postaci .
Oczywiście a to kończy dowód.
Jeśli natomiast jest postaci to pamiętając o spostrzeżeniach 1., 2. i 3. oraz przypominając sobie rozumowanie z dowodu dla stwierdzamy, że liczba dzielników postaci to
a dzielników postaci mamy .
Wystarczy zatem wykazać nierówność
przekształcając równoważnie:
co po rozłożeniu na czynniki daje
Jednak ta nierówność jest prawdziwa na mocy założenia indukcyjnego oraz nierówności . Tym samym dowód twierdzenia został zakończony
Teraz może pojawić się chęć sprawdzenia jak się sprawa ma z innymi postaciami dzielników, np których jest więcej: tych postaci czy . Okazuje się, że akurat tego przypadku nie można rozstrzygnąć, bo np. liczba ma dzielnik postaci oraz zero dzielników postaci , a już liczba ma dzielnik postaci i dzielniki postaci .
Zachęcam do dalszego drążenia tematu.
Na koniec jeszcze kilka zadanek pasujących choć trochę tematycznie:
1. Udowodnić, że liczb pierwszych jest nieskończenie wiele.
2. Udowodnić, że liczb pierwszych postaci jest nieskończenie wiele.
3. Udowodnić, że liczb pierwszych postaci jest nieskończenie wiele.
(oczywiście w zadaniach 2. i 3. nie korzystamy z twierdzenie Dirichleta )