0
O sumie długości pewnych odcinków w czworokącie
Napisane przez Ereinion,
16 January 2010
·
3710 wyświetleń
Geometria
Ostatni wpis dotyczący geometrii zakończyliśmy następującym stwierdzeniem:
Nasuwa się pytanie, czy można powiedzieć coś podobnego jeśli chodzi o czworokąty. Jako że nie spotkałem się z formalną definicją środkowej w czworokącie to przyjmijmy, że
Środkową w czworokącie będziemy nazywać każdy odcinek, którego jeden koniec leży w wierzchołku czworokąta, a drugi w połowie jego boku, przy czym odcinek ten nie może zawierać się w boku czworokąta.
Wszelkie wątpliwości rozwieje rysunek:
Środkowe w tym czworokącie to odcinki: .
Dla skrócenia zapisu oznaczmy:
Podobnie jak poprzednio postaramy się wyznaczyć największe oraz najmniejsze , takie że dla dowolnego czworokąta.
Zacznijmy od wyznaczenia liczby .
Spoglądając na rysunek, każdy może się przekonać, że z nierówności trójkąta mamy oraz analogicznie . Rozpisując podobne nierówności dla pozostałych sześciu środkowych i sumując stronami otrzymamy
Stąd możemy podejrzewać, że . Jak się upewnić? Ano na przykład konstruując czworokąt, dla którego jest dowolnie blisko .
Rozważmy prostokąt o bokach i . Każdy z łatwością sprawdzi, że oraz .
Następnie zacznijmy "zwężać" nasz prostokąt czyli zmniejszać . Mamy . A to potwierdza nasze przypuszczenie, że .
Teraz czas na .
Korzystając z tw. o środkowych w trójkącie oraz z nierówności trójkąta, można pokazać, że . Formułując podobne nierówności dla trójkątów , i a następnie dodając je stronami, otrzymamy
. (*)
Pozostaje tylko zauważyć, że jeśli jest punktem przecięcia przekątnych i to, po raz kolejny z nierówności trójkąta, mamy
.
Po dodaniu stronami dostajemy .
Wstawiając to do (*) otrzymujemy . Czyli nasuwa się podejrzenie, że .
Aby to wykazać, weźmy trapez równoramienny o podstawach i , przy czym . Niech kąt ostry w tym trapezie ma miarę .
Można pokazać, że wtedy ramię trapezu, ma długość . (pozostawiam to jako ćwiczenie)
Wobec tego . Teraz korzystając np. z tw. cosinusów liczymy, że
Zacznijmy teraz zmniejszać . Jak wiadomo , więc
W końcu, jeśli równocześnie będziemy zmniejszać , (zauważmy, że nie wpływa to na ) to otrzymamy
.
Tym samym pokazaliśmy, że , a to pozwala podsumować ten wpis twierdzeniem:
Na koniec zostawiam 3 zadanka z czworokątami w treści:
1.(rozgrzewkowe)
Wykaż, że w dowolnym czworokącie środki boków są wierzchołkami równoległoboku.
Wskazówka:
2.
Przekątne pewnego czworokąta wypukłego o polu dzielą go na cztery trójkąty o polach odpowiednio . Wykaż, że
.
Wskazówka:
3.
Punkty E i F są środkami odpowiednio boków AB i CD czworokąta wypukłego ABCD. Wykaż, że środki odcinków AF, BF, CE, DE są wierzchołkami równoległoboku.
Wskazówka:
W dowolnym trójkącie
i nierówności tych nie można już w ogólnym przypadku "poprawić".
Nasuwa się pytanie, czy można powiedzieć coś podobnego jeśli chodzi o czworokąty. Jako że nie spotkałem się z formalną definicją środkowej w czworokącie to przyjmijmy, że
Środkową w czworokącie będziemy nazywać każdy odcinek, którego jeden koniec leży w wierzchołku czworokąta, a drugi w połowie jego boku, przy czym odcinek ten nie może zawierać się w boku czworokąta.
Wszelkie wątpliwości rozwieje rysunek:
Środkowe w tym czworokącie to odcinki: .
Dla skrócenia zapisu oznaczmy:
Podobnie jak poprzednio postaramy się wyznaczyć największe oraz najmniejsze , takie że dla dowolnego czworokąta.
Zacznijmy od wyznaczenia liczby .
Spoglądając na rysunek, każdy może się przekonać, że z nierówności trójkąta mamy oraz analogicznie . Rozpisując podobne nierówności dla pozostałych sześciu środkowych i sumując stronami otrzymamy
Stąd możemy podejrzewać, że . Jak się upewnić? Ano na przykład konstruując czworokąt, dla którego jest dowolnie blisko .
Rozważmy prostokąt o bokach i . Każdy z łatwością sprawdzi, że oraz .
Następnie zacznijmy "zwężać" nasz prostokąt czyli zmniejszać . Mamy . A to potwierdza nasze przypuszczenie, że .
Teraz czas na .
Korzystając z tw. o środkowych w trójkącie oraz z nierówności trójkąta, można pokazać, że . Formułując podobne nierówności dla trójkątów , i a następnie dodając je stronami, otrzymamy
. (*)
Pozostaje tylko zauważyć, że jeśli jest punktem przecięcia przekątnych i to, po raz kolejny z nierówności trójkąta, mamy
.
Po dodaniu stronami dostajemy .
Wstawiając to do (*) otrzymujemy . Czyli nasuwa się podejrzenie, że .
Aby to wykazać, weźmy trapez równoramienny o podstawach i , przy czym . Niech kąt ostry w tym trapezie ma miarę .
Można pokazać, że wtedy ramię trapezu, ma długość . (pozostawiam to jako ćwiczenie)
Wobec tego . Teraz korzystając np. z tw. cosinusów liczymy, że
Zacznijmy teraz zmniejszać . Jak wiadomo , więc
W końcu, jeśli równocześnie będziemy zmniejszać , (zauważmy, że nie wpływa to na ) to otrzymamy
.
Tym samym pokazaliśmy, że , a to pozwala podsumować ten wpis twierdzeniem:
W dowolnym czworokącie wypukłym przyjmując oznaczenia jak powyżej, zachodzą nierówności
i nierówności tych, nie można w ogólnym przypadku poprawić.
Na koniec zostawiam 3 zadanka z czworokątami w treści:
1.(rozgrzewkowe)
Wykaż, że w dowolnym czworokącie środki boków są wierzchołkami równoległoboku.
Wskazówka:
2.
Przekątne pewnego czworokąta wypukłego o polu dzielą go na cztery trójkąty o polach odpowiednio . Wykaż, że
.
Wskazówka:
3.
Punkty E i F są środkami odpowiednio boków AB i CD czworokąta wypukłego ABCD. Wykaż, że środki odcinków AF, BF, CE, DE są wierzchołkami równoległoboku.
Wskazówka: