Skocz do zawartości

  •  
  • Mini kompendium
  • MimeTeX
  • Regulamin





- - - - -

O sumie długości pewnych odcinków w czworokącie

Napisane przez Ereinion, 16 January 2010 · 3105 wyświetleń

Geometria
Ostatni wpis dotyczący geometrii zakończyliśmy następującym stwierdzeniem:

W dowolnym trójkącie


\frac{3}{2} \ < \frac{m_a + m_b + m_c}{p} \ < \ 2

i nierówności tych nie można już w ogólnym przypadku "poprawić".



Nasuwa się pytanie, czy można powiedzieć coś podobnego jeśli chodzi o czworokąty. Jako że nie spotkałem się z formalną definicją środkowej w czworokącie to przyjmijmy, że

Środkową w czworokącie będziemy nazywać każdy odcinek, którego jeden koniec leży w wierzchołku czworokąta, a drugi w połowie jego boku, przy czym odcinek ten nie może zawierać się w boku czworokąta.

Wszelkie wątpliwości rozwieje rysunek:
Dołączona grafika
Środkowe w tym czworokącie to odcinki: AF,\ AG,\ BG,\ BH,\ CE,\ CH,\ DF,\ DE.

Dla skrócenia zapisu oznaczmy:

S=AF+AG+BG+ BH+ CE+ CH+ DF+ DE

AB=a

BC=b

CD=c

DA=d

p=\frac{a+b+c+d}{2}

Podobnie jak poprzednio postaramy się wyznaczyć największe \alpha oraz najmniejsze \beta, takie że \alpha \ < \ \frac{S}{p} \ < \ \beta dla dowolnego czworokąta.

Zacznijmy od wyznaczenia liczby \beta.

Spoglądając na rysunek, każdy może się przekonać, że z nierówności trójkąta mamy DF< \frac{b}{2}+c oraz analogicznie DE< \frac{a}{2}+d. Rozpisując podobne nierówności dla pozostałych sześciu środkowych i sumując stronami otrzymamy

S \ < \ \frac{a}{2}+\frac{b}{2}+\frac{c}{2}+\frac{d}{2}+\frac{a}{2}+\frac{b}{2}+\frac{c}{2}+\frac{d}{2}+2(a+b+c+d)=3(a+b+c+d)=6p

Stąd możemy podejrzewać, że \beta=6. Jak się upewnić? Ano na przykład konstruując czworokąt, dla którego \frac{S}{p} jest dowolnie blisko 6.

Rozważmy prostokąt o bokach x i y. Każdy z łatwością sprawdzi, że S=4(\sqrt{x^2 + \frac{1}{4} y^2}+\sqrt{y^2 + \frac{1}{4} x^2}) oraz p=x+y.

Następnie zacznijmy "zwężać" nasz prostokąt czyli zmniejszać y. Mamy \lim_{y \to 0} \frac{S}{p}=\frac{4x+4 \cdot \frac{1}{2}x}{x}=\frac{6x}{x}=6. A to potwierdza nasze przypuszczenie, że \beta=6.

Teraz czas na \alpha.

Korzystając z tw. o środkowych w trójkącie BCD oraz z nierówności trójkąta, można pokazać, że \frac{2}{3}BG + \frac{2}{3} DF \ > \ BD. Formułując podobne nierówności dla trójkątów DAB, ACD i CAB a następnie dodając je stronami, otrzymamy
\frac{2}{3}S \ > \ 2(BD+AC) \ \Rightarrow \ S \ > \ 3(AC+BD). (*)

Pozostaje tylko zauważyć, że jeśli X jest punktem przecięcia przekątnych AC i BD to, po raz kolejny z nierówności trójkąta, mamy

AX+XB \ > \ a , \ \ BX+XC \ > \ b , \ \ CX+XD \ > \ c, \ \  DX+XA \ > \ d .

Po dodaniu stronami dostajemy AC+BD \ > \ p.

Wstawiając to do (*) otrzymujemy S \ > \ 3p. Czyli nasuwa się podejrzenie, że \alpha=3.



Aby to wykazać, weźmy trapez równoramienny o podstawach x i y, przy czym x \ > \ y. Niech kąt ostry w tym trapezie ma miarę \gamma.

Można pokazać, że wtedy ramię trapezu, ma długość \frac{x-y}{2 \cos \gamma}. (pozostawiam to jako ćwiczenie)

Wobec tego p=\frac{x+y+\frac{x-y}{\cos \gamma}}{2}. Teraz korzystając np. z tw. cosinusów liczymy, że

S=\sqrt{y^2 + \frac{(x-y)^2}{\cos ^2 \gamma } +2y(x-y)}+\sqrt{x^2 + \frac{(x-y)^2}{\cos ^2 \gamma } -2x(x-y)}+ \sqrt{4y^2 + \frac{(x-y)^2}{4 \cos ^2 \gamma } +2y(x-y)}+ \sqrt{4x^2 + \frac{(x-y)^2}{4 \cos ^2 \gamma } -2x(x-y)}

Zacznijmy teraz zmniejszać \gamma. Jak wiadomo \lim_{\gamma \to 0} \cos \gamma =1 , więc

\lim_{\gamma \to 0} \frac{S}{p} = \frac{x+y+\frac{3y+x}{2} + \frac{3x+y}{2}}{\frac{x+y+x-y}{2}}=\frac{3x+3y}{x}=3+3 \frac{y}{x}<br />

W końcu, jeśli równocześnie będziemy zmniejszać y, (zauważmy, że nie wpływa to na \gamma) to otrzymamy

\lim_{y \to 0} \( \lim_{\gamma \to 0} \frac{S}{p} \)=\lim_{y \to 0} \(3+3 \frac{y}{x} \)=3.

Tym samym pokazaliśmy, że \alpha =3, a to pozwala podsumować ten wpis twierdzeniem:

W dowolnym czworokącie wypukłym przyjmując oznaczenia jak powyżej, zachodzą nierówności


3 \ < \ \frac{S}{p} \ < \ 6

i nierówności tych, nie można w ogólnym przypadku poprawić.





Na koniec zostawiam 3 zadanka z czworokątami w treści:

1.(rozgrzewkowe)
Wykaż, że w dowolnym czworokącie środki boków są wierzchołkami równoległoboku.

Wskazówka:


2.
Przekątne pewnego czworokąta wypukłego o polu Q dzielą go na cztery trójkąty o polach odpowiednio P_1, P_2, P_3, P_4. Wykaż, że
P_1 \cdot P_2 \cdot P_3 \cdot P_4 =\frac{(P_1+P_2)^2 \cdot (P_2+P_3)^2 \cdot (P_3+P_4)^2 \cdot (P_4+P_1)^2 }{Q^4}.

Wskazówka:


3.
Punkty E i F są środkami odpowiednio boków AB i CD czworokąta wypukłego ABCD. Wykaż, że środki odcinków AF, BF, CE, DE są wierzchołkami równoległoboku.

Wskazówka:


  • 0



Witam,czy można jakąś podpowiedź do zadania numer 3? Robię już drugie podejście do niego i nie wiem co tu zastosować ...
    • 0
Ok, dodałem do każdego zadania po wskazówce :D
    • 0
Dzięki wielkie! Teraz zadanie numer 3 wydaje się proste :D Jednak mam tu pytanie, mianowicie rozwiązując je za pomocą własności środkowej EF zakładam z góry, że odcinki które łączą środki boków AF z BF i DE z EC to przekątne czworokąta! (czy istnieje tu możliwość że będą to jego boki?)- czy takie rozwiązanie jest kompletne?!
    • 0
O, dziękuję Ci za to pytanie, jest ciekawe i bardzo istotne, ja tę kwestie przegapiłem :D Odnośnie odpowiedzi to myślę, że wspomniane przez Ciebie odcinki nie mogą być bokami tego czworokąta, ponieważ oba przechodzą przez środek odcinka EF, czyli mają punkt wspólny. Gdyby te odcinki były bokami, to wspomniany punkt musiał by być wierzchołkiem, który je łączy, ale wszystkie wierzchołki tego czworokąta to środki pewnych odcinków o końcach w wierzchołkach "dużego" czworokąta i w jednym z punktów E lub F. W związku z tym jeden z punktów E lub F musiał by być wierzchołkiem "dużego" czworokąta, co jest niemożliwe.
    • 0
Teraz już wszystko gra :)A teraz z ciekawości, jeżeli można oczywiście, ile olimpiad wygrałeś w swojej karierze :) ? I czy swoją wiedzę zawdzięczasz wsparciu nauczyciela czy bardziej swojej dociekliwości ?Jak nie chcesz nie odpowiadaj, pytam bo jestem wścibski i "fascynują" oraz motywują do pracy ludzie tacy jak ty. Jednym słowem cieszę się że znalazłem się na tym forum.Ps. Na studiach jest mało takich ambitnych jak ty więc nie zapuść się :D Uczelnię już wybrałeś ?
    • 0

Ostatni odwiedzający

Ostatnie komentarze

Buttony