Jako że emocje związane z sylwestrem już opadły to teraz czas na matematykę
W wielu olimpiadach i konkursach matematycznych zdarza się tak, że jeśli w zadaniu ma pojawić się jakaś liczba naturalna, to jego twórcy decydują się żeby ta liczba była równa numerowi roku, w którym dany konkurs się odbywa.
Warto więc przyjrzeć się liczbie . Najistotniejszą rzeczą jest jej rozkład na czynniki pierwsze, czyli
Widać więc, że liczba nie dzieli się przez żadną potęgę o wykładniku (pomijając potęgi jedynki).
Teraz kilka wartości niektórych funkcji z teorii liczb dla argumentu :
- funkcja Eulera
- funkcja Carmichaela
- funkcja Mobiusa
Oczywiście bardzo rzadko zdarza się, aby sama znajomość powyższych faktów wystarczyła do rozwiązania zadania, ale mogę się one okazać pomocne
Na koniec zostawiam cztery sympatyczne zadania z liczbą w treści:
Kombinatoryka:
Wykazać, że w grupie -ciu zarejestrowanych użytkowników naszego forum istnieje dwóch takich, którzy mają taką samą liczbę znajomych z tej grupy.
Teoria liczb:
Pokaż, że liczba jest złożona.
Nierówność:
a) łatwiejsza
Pokazać, że dla dowolnych liczb rzeczywistych dodatnich zachodzi nierówność
.
b) trudniejsza
Udowodnić, że
.
Zachęcam do porobienia w długie styczniowe wieczory
[edit]
Ku memu zaskoczeniu (pozytywnemu oczywiście), pojawiło się zapotrzebowania na rozwiązania zadań, więc oto i one:
Rozwiązania:
W wielu olimpiadach i konkursach matematycznych zdarza się tak, że jeśli w zadaniu ma pojawić się jakaś liczba naturalna, to jego twórcy decydują się żeby ta liczba była równa numerowi roku, w którym dany konkurs się odbywa.
Warto więc przyjrzeć się liczbie . Najistotniejszą rzeczą jest jej rozkład na czynniki pierwsze, czyli
Widać więc, że liczba nie dzieli się przez żadną potęgę o wykładniku (pomijając potęgi jedynki).
Teraz kilka wartości niektórych funkcji z teorii liczb dla argumentu :
- funkcja Eulera
- funkcja Carmichaela
- funkcja Mobiusa
Oczywiście bardzo rzadko zdarza się, aby sama znajomość powyższych faktów wystarczyła do rozwiązania zadania, ale mogę się one okazać pomocne
Na koniec zostawiam cztery sympatyczne zadania z liczbą w treści:
Kombinatoryka:
Wykazać, że w grupie -ciu zarejestrowanych użytkowników naszego forum istnieje dwóch takich, którzy mają taką samą liczbę znajomych z tej grupy.
Teoria liczb:
Pokaż, że liczba jest złożona.
Nierówność:
a) łatwiejsza
Pokazać, że dla dowolnych liczb rzeczywistych dodatnich zachodzi nierówność
.
b) trudniejsza
Udowodnić, że
.
Zachęcam do porobienia w długie styczniowe wieczory
[edit]
Ku memu zaskoczeniu (pozytywnemu oczywiście), pojawiło się zapotrzebowania na rozwiązania zadań, więc oto i one:
Rozwiązania: