Skocz do zawartości

  •  
  • Mini kompendium
  • MimeTeX
  • Regulamin





- - - - -

Wpis Noworoczny

Napisane przez Ereinion, 02 January 2010 · 2455 wyświetleń

Inne
Jako że emocje związane z sylwestrem już opadły to teraz czas na matematykę Dołączona grafika

W wielu olimpiadach i konkursach matematycznych zdarza się tak, że jeśli w zadaniu ma pojawić się jakaś liczba naturalna, to jego twórcy decydują się żeby ta liczba była równa numerowi roku, w którym dany konkurs się odbywa.



Warto więc przyjrzeć się liczbie 2010. Najistotniejszą rzeczą jest jej rozkład na czynniki pierwsze, czyli

2010=2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 67

Widać więc, że liczba 2010 nie dzieli się przez żadną potęgę o wykładniku > \ 1 (pomijając potęgi jedynki).

Teraz kilka wartości niektórych funkcji z teorii liczb dla argumentu 2010:

\phi(2010)=\phi(2) \cdot \phi(3) \cdot \phi(5) \cdot \phi(67) = 2 \cdot 4 \cdot 66 = 528 - funkcja Eulera

\lambda(2010)= NWW(\lambda(2),\lambda(3),\lambda(5),\lambda(67))=132 - funkcja Carmichaela

\mu(2010)=1 - funkcja Mobiusa

Oczywiście bardzo rzadko zdarza się, aby sama znajomość powyższych faktów wystarczyła do rozwiązania zadania, ale mogę się one okazać pomocne Dołączona grafika

Na koniec zostawiam cztery sympatyczne zadania z liczbą 2010 w treści:

Kombinatoryka:
Wykazać, że w grupie 2010-ciu zarejestrowanych użytkowników naszego forum istnieje dwóch takich, którzy mają taką samą liczbę znajomych z tej grupy.

Teoria liczb:
Pokaż, że liczba 2010^5 + 2010^4 + 1 jest złożona.

Nierówność:

a) łatwiejsza

Pokazać, że dla dowolnych liczb rzeczywistych dodatnich a_1 , a_2 , ... , a_{2010} zachodzi nierówność

\frac{a_1}{a_1 + 1} + \frac{a_2}{(a_1 + 1)(a_2 + 1)}+...+\frac{a_{2010}}{(a_1 + 1)(a_2 + 1) \cdot ... \cdot (a_{2010}+1)} \ < \ 1.

b) trudniejsza

Udowodnić, że

2010^{2010} \ > \ 2011^{2009}.

Zachęcam do porobienia w długie styczniowe wieczory Dołączona grafika

[edit]
Ku memu zaskoczeniu (pozytywnemu oczywiście), pojawiło się zapotrzebowania na rozwiązania zadań, więc oto i one:

Rozwiązania:


  • 0



Erenion gratuluję!. Ty chyba oprócz matematyki znasz się również bardzo dobrze na socjotechnice, bo wszystko co napiszesz czyta się jednym tchem. A i temat tego wpisu jest przewrotny :D
    • 0
Czy te zadanie z kombinatoryki i teorii liczb rozwiążesz kiedyś na forum/blogu? Męczę się nad nimi dwoma i nie mogę ich rozwiązać :/Ps. Czy twój wiek wpisany w profil jest prawdziwy? ... Popadam w duże kompleksy :D
    • 0
Wiek prawdziwy, a zadanka rozwiążę na początku następnego wpisu, tylko jakiś fajny temat muszę dorwać :D@matma4u: dzięki! :)
    • 0
Oby jak najszybciej on nastąpił bo nie mogę spać po nocach przez nie :D
    • 0
Jako że nie wiem, kiedy mi się zbierze na następny wpis, to żebyś dłużej nie cierpiał na bezsenność, dodałem rozwiązania w tym wpisie :D
    • 0
Cóż moge powiedziec, bardzo interesujący wpis drogi Ereinionie, napewno będe śledził twego bloga z niemałym zainteresowaniem. A kiedy już nadejdzie pora staniemy ramię w ramię i przejdziemy sie jak starzy przyjaciele.
    • 0
Wow podziwiam naprawdę dobra robota :D Kurczę jak tak patrzę na twoje wpisy to bierze mnie ochota do uczenia się mamty, może być naprawdę super zabawą :) Dzięki :)
    • 0
A tak poza tym to pewnie niezły z ciebie zdolniacha jak na ten wiek :D A matura w tym roku pewnie tak jak ja :) Założe się że to będzie dla ciebie bułka z masłem :)
    • 0
Dzięki za miłe słowa. Z maturą faktycznie problemu nie będzie, bo tak się udało, że jestem zwolniony :D Zapraszam do lektury najnowszego wpisu :)
    • 0
Hmm... tak podejrzewałam :D Gratulacje :DD
    • 0

Ostatni odwiedzający

Ostatnie komentarze

Buttony