Skocz do zawartości

  •  
  • Mini kompendium
  • MimeTeX
  • Regulamin





- - - - -

Krótkie wprowadzenie do baz Grobnera

Napisane przez matma4u, 13 November 2010 · 5005 wyświetleń

baza Grobnera Algorytm Buchbergera
Jako osoba upoważniona (dyrektor d/s technicznych :) ) przez Arczi chciałbym wam zaprezentować fragment jego pracy związanej z bazami Grobnera. Zanim przystąpicie do lektury wymienię kilka tematów poruszonych w opracowaniu: bazy Grobnera, S-wielomiany oraz Algorytm Buchbergera, zredukowana baza Grobnera, podstawowe zastosowania baz Grobnera, bazy Grobnera i syzygia
Całość dostępna jest po kliknięciu w ten odnośnik: Załączony plik  Krótkie _wprowadzenie_do_baz_Grobnera.pdf (279.7 KB)
Ilość pobrań: 308

1. Wprowadzenie
Niech k będzie ciałem. Będziemy rozważać wielomiany n zmiennych f(x_1 ,\: ...,\; x_n ) o współczynnikach z ciała k. Wielomiany te są postaci ax_1^{\beta_1}\;x_2^{\beta_2}\;...\;x_n^{\beta_n}, gdzie a \in k,\;\beta_i \in \mathbb{N},\;i = 1,2,...,n. Niech k[x_1,...,x_n] oznacza zbiór wszystkich wielomianów n zmiennych o wspólczynnikach z ciała k. Dodatkowo rozważmy zbiór \mathbb{T}^n wszystkich iloczynów potęgowych:

\mathbb{T}^n=\{x_1^{\beta_1}\;...\;x_n^{\beta_n}\;:\;\beta_i \in \mathbb{N},\;i = 1,2,...,n\}.



Twierdzenie 1 (Twierdzenie Hilberta o bazie). W pierścieniu k[x_{1},...,x_{n}] mamy co następuje:

(1) Jeśli I jest dowolnym ideałem ciała k[x_{1},..,x_{n}], to istnieją wielomiany f_{1},...,f_{s}\in k[x_{1},...,x_{n}] takie, że I=<f_{1},...,f_{s}>.


(2) Jeśli I_{1}\subseteq I_{2}\subseteq I_{3}\subseteq...\subseteq I_{n}\subseteq... jest rosnącym ciągiem ideałów ciała k[x_{1},...,x_{n}], to istnieje takie N, że I_{N}=I_{N+1}=I_{N+2}=... .



Twierdzenie 2. Niech R będzie pierścieniem przemiennym. Wówczas następujące warunki są równoważne:

(1) Jeśli I jest ideałem pierścienia R, to istnieją elementy f_{1},...,f_{s}\in R takie, że I=<f_{1},...,f_{s}>.

(2) Jeśli I_{1}\subseteq I_{2}\subseteq I_{3}\subseteq...\subseteq I_{n}\subseteq... jest rosnącym ciągiem ideałów pierścienia R, to istnieje takie N, że I_{N}=I_{N+1}=I_{N+2}=... .

To jest, pierścień R jest noetherowski wtedy i tylko wtedy, gdy każdy ideał w R jest skończenie generowany.


Przedstawimy teraz bardziej ogólną wersję Twierdzenia Hilberta o bazie:


Twierdzenie 3. Jeśli R jest pierścieniem noetherowskim, to jest nim również R[x].

  • 0



Październik 2017

P W Ś C P S N
      1
2345678
9101112131415
1617181920 21 22
23242526272829
3031     

Kategorie

Ostatnie wpisy

Ostatni odwiedzający