Definicja Niech m będzie dowolną dodatnią liczbą całkowitą. Wielomian permutacyjny nad nazywamy o-wialomianem, jeśli dla każdego funkcja
jest permutacją ciała .
Znane o-wielomianów:
1. Automorfizm Frobeniusa ,
2. , - nieparzysta
3. ,
4. ,
5. ,
6. ,
7. ,
8. , - nieparzysta
9. , - nieparzysta
10. , , a jeśli , to - o-wielomian Subiaco
11. , - parzysta, , , , , gdzie jest funkcją śladu z do - o-wielomian Adelaide.
DOWÓD 10.
1. Zdefiniujmy funkcję śladu: , gdzie , poprzez
2. Fakt Równanie kwadratowe jest nierozkładalne nad ciałem wtw, gdy oraz .
3. Niech będzie rodziną macierzy wymiaru o elementach z . Zdefiniujmy formę kwadratową jako
.
Mówimy, że jest q-klanem, jeśli forma kwadratowa jest anizotropowa (nieizotropowa) dla wszelkich .
4. Ponieważ zajmować się będziemy tylko ciałami o charakterystyce , to:
jest anizotropowa dla wszelkich wtw, gdy:
.
5. Zdefiniujmy poprzez oraz przez . Wówczas oraz . Ponieważ jest anizotropowa dla każdego , to mamy,
dla wszelkich .
6. Twierdzenie Niech będzie parzysta. Niech , oraz . Wówczas jest prawdziwe wtw, gdy jest o-wielomianem, jest o-wielomianem dla każdego , gdzie
oraz .
7. Twierdzenie Niech , - parzysta, będzie taki, że oraz . Niech
oraz .
Wtedyjest q-klanem.
Dowód. Zaczniemy od pokazania, że dla każdego parzystego:
Zapiszmy i w nieco innej postaci (co ułatwi nam późniejsze obliczenia):
oraz .
,
tworzą q-klan. Innymi słowy pokażemy, że jest prawdziwe, a co za tym idzie, że ma ślad równy dla każdego . Od teraz zakładać będziemy, że , a więc:
Jeśli teraz odpowiadać będą pierwszym ośmiu elementom w nawiasie powyższego wyrażenia, to możemy je zapisać jako:
,
oraz .
.
Pozostaje pokazać, że ma ślad zero. Ponieważ , jest to równoważne wykazaniu, iż ma ślad zero.
.
Po uproszczeniu otrzymamy:
.
Używając i dokononując kolejnych uproszczeń, dzieląc przez (lub przez ) i sprowadzając do wspólnego mianownika, otrzymujemy:
.
Dokonując uproszczeń i dzieląc, gdzie to tylko jest możliwe przez oraz grupując, otrzymujemy:
.
Dzielimy przez i po prostym uproszczeniu otrzymujemy:
,
co jest postaci . Tym samym kończymy dowód naszego twierdzenia.
Jak widać dowód nie jest skomplikowany tylko wymaga sporo obliczeń!