Musiałem gdzieś spisać wszystkie zadania które mi zalegały na skrzynce odbiorczej, padło na mój blog. Wszystkie pochodzą od Ereiniona, za co mu bardzo dziękuję Rozwiązania są pochowane w tagach "hide". Jeżeli kogoś zainteresują, polecam najpierw samemu spróbować je rozwiązać zanim się zajrzy do odpowiedzi
1. Rozwiązać w liczbach pierwszych równanie .
Dla mamy równanie , które nie ma rozwiązań w liczbach całkowitych, wobec tego x musi być nieparzyste.
Skoro musi być nieparzyste, to lewa strona będzie podzielna przez 4. Prawa strona równania też musi być, więc musi być parzyste. Jedyną parzystą liczbą pierwszą jest 2, wobec tego . Podstawiając tą wartość do początkowego równania otrzymujemy . Wobec tego jedynym rozwiązaniem równania jest para .
2. Udowodnij, że jeśli liczby i są całkowite, to liczba jest całkowita
Skoro liczby i są całkowite, to także musi być, co kończy dowód.
3. Wyznaczyć wszystkie takie , że oraz są kwadratami liczb naturalnych.
Jeżeli oznaczymy oraz i odejmiemy te równania stronami, otrzymamy . Skoro , mamy kilka możliwości. Do tego jeszcze warto dodać, że skoro są liczbami naturalnymi, to zachodzi . Wobec tego mamy następujące układy:
Wróćmy teraz do równania . Podstawiając nasze dwa możliwe , obliczamy możliwe wartości zmiennej :
lub .
4. Znajdź wszystkie naturalne liczby dla których liczba jest naturalna.
Rozpatrzmy poszczególne przypadki: a) - wtedy oczywiście jest liczbą naturalną. b) i są względnie pierwsze. Mamy wtedy . Wynika z tego, że oraz . Skoro z założenia , to te dwa warunki będą zachodziło tylko i wyłącznie wtedy, kiedy . c) i . Weźmy takie i , że oraz . Mamy wtedy: . W ten sposób sprowadzamy punkt c) do punktu b).
Wobec tego jedyne rozwiązania są wtedy, kiedy .
5. Pokazać, że jeśli , to .
Niech i oraz , gdzie oczywiście . Wracając do równania mamy:
Skoro , to każdy czynnik w mianowniku musi dzielić licznik bez reszty. Mamy w takim razie . Dzielnik danej liczby jest zawsze od niej mniejszy lub równy. Mamy wobec tego:
Wracając do podstawienia otrzymujemy:
... co kończy dowód.
6. Udowodnij, że .
Otóż następujące kongruencje są prawdziwe ( modulo 2003 ):
Liczba tych kongruencji jest nieparzysta, więc po pomnożeniu wszystkich wychodzi . W związku z tym , co dowodzi podzielności tej liczby przez 2003.
7. Pokazać, że dla żadnego liczba nie jest kwadratem liczby całkowitej.
Oznaczmy . Warto zauważyć, że . Tak więc:
Żeby powstała liczba była kwadratem liczby całkowitej, także musi być. Ale , więc nigdy nie będzie kwadratem liczby całkowitej, co kończy dowód.
8. Wykaż, że suma liczby cyfr dowolnej liczby naturalnej i liczby cyfr sześcianu tej liczby nie jest równa 2009.
Przez oznaczmy liczbę cyfr danej liczby naturalnej. Jej sześcian może mieć , lub cyfr. Rozpatrzmy wobec tego te trzy przypadki ( pamiętając o tym, że ):
... co kończy dowód.
9. Pokazać, że . Czy twierdzenie odwrotne () też jest prawdziwe?
Z treści zadania wiemy, że , więc wystarczy jeszcze udowodnić, że drugi czynnik ( tj. ) także dzieli się przez n. Skoro , to:
... czyli drugi czynnik też jest podzielny przez n. Wobec tego cały iloczyn jest podzielny przez .
Twierdzenie odwrotne nie jest prawdziwe. Wystarczy dobrać takie i , że i . Przykład: , ale , i tym samym .
10. Pokazać, że nigdy nie jest kwadratem liczby naturalnej, gdzie to suma cyfr liczby w zapisie dziesiętnym.
Lemat: Dowód: niech . Mamy wtedy:
Wynika z tego, że kongruencja jest zawsze prawdziwa dla dowolnych , gdzie , co kończy dowód.
Jeżeli weźmiemy takie k, dla którego , to można napisać ( odwołując się do lematu ) że . Reszty kwadratowe modulo 9 to 0, 1, 4 oraz 7. Mamy więc cztery możliwości, a mianowicie . Sprawdźmy te opcje:
Czyli mamy cztery możliwości: . Analizując reszty kwadratowe modulo 9 dochodzimy do wniosku, że nie ma takiego który spełniałby którąkolwiek z tych czterech kongruencji. Wniosek: nie jest kwadratem żadnej liczby naturalnej.
11. Wyznaczyć wszystkie liczby całkowite , dla których liczba jest kwadratem liczby naturalnej.
Dla liczba nie będzie naturalna, wobec tego nie może być kwadratem liczby naturalnej. Mamy wobec tego ( dla n=0 liczba 106 nie jest kwadratem liczby naturalnej ).
Rozpatrzmy przystawanie tego wyrażenia modulo 3. Kiedy n jest liczbą nieparzystą, będzie przystawało 2 modulo 3, czyli wtedy nie może być kwadratem żadnej liczby całkowitej ( bo reszty kwadratowe modulo 3 to 0 i 1 ). Wobec tego dla : .
Weźmy takie że . Po kilku przekształceniach mamy wtedy . Trzeba więc rozpatrzyć kilka przypadków które z tego wynikają. Wiedząc, że odrzucamy połowę przypadków:
. Po dodaniu równań stronami otrzymujemy , a stąd mamy . Równanie to oczywiście nie ma rozwiązań w liczbach całkowitych.
. Wychodzi oraz . Mamy pierwsze rozwiązanie.
. Kolejne: .
... i kolejne: .
Wracając do podstawienia mamy szukane rozwiązania:
12. Rozstrzygnąć, czy istnieje liczba pierwsza i nieujemne liczby spełniające równanie: .
więc i .
Skoro to ,. Ale wtedy , więc jest parzyste. Jednak i w związku z tym nie może być kwadratem liczby naturalnej. Otrzymana sprzeczność dowodzi, że szukane w zadaniu liczby nie istnieją.
13. Pokazać, że dla dowolnego i dowolnej liczby pierwszej liczba jest złożona.
Dla mamy , więc powstała liczba jest złożona. Załóżmy więc, że liczba p jest nieparzysta.
Dla czytelności zróbmy podstawienie . Skoro jest nieparzyste, to można skorzystać ze wzorów skróconego mnożenia, a mianowicie:
... co niewątpliwie dowodzi złożoności tej liczby.
14. Pokazać, że jeśli -ta liczba Fermata nie jest pierwsza, to jest pseudopierwsza przy podstawie 2; zadanie jest równoważne udowodnieniu, że .
Takim samym sposobem można rozłożyć itd. Analogicznie rozkładając kolejne wyrażenia, otrzymujemy:
Gratuluję! Widzę, że nie marnujesz wolnego czasu, spędzając go na rozwiązywaniu ambitnych zadań. Oczywiście cześć i chwała również należy się Twojemu mentorowi, którym niewątpliwie jest Ereinion
Rozwiązania są pochowane w tagach "hide". Jeżeli kogoś zainteresują, polecam najpierw samemu spróbować je rozwiązać zanim się zajrzy do odpowiedzi 
matma4u, 29.01.2010, 16:04
16 Jul 2010 - 22:34
