Matematyk - forum matematyczne: Układy równań liniowych cz. I - metoda przeciwnych współczynników, podstawiania, graficzna - Matematyk - forum matematyczne

Układem dwóch równań liniowych z dwoma niewiadomymi nazywamy układ postaci gdzie są danymi, ( oraz nie mogą być jednocześnie zerami) natomiast to niewiadome.

Metody rozwiązywania układów dwóch równań z dwoma niewiadomymi:


Metoda przeciwnych współczynników:

Metoda ta polega na działaniu na równaniach układu tak, aby wyeliminować jedną z niewiadomych i uzyskać równanie liniowe z jedną niewiadomą. Dozwolonymi działaniami na układzie są:

* Mnożenie i dzielenie równań przez liczbę różną od 0.
* Dodawanie i odejmowanie równań.
* Dodawanie i odejmowanie stałych liczbowych do równań.


Przykład:
Rozwiązmy metoda przeciwnych współczynników układ:
pomnóżmy pierwsze równanie przez natomiast drugie przez
dodając teraz równania stronami wyeliminujemy niewiadomą , bo:

a zatem po dokonaniu redukcji wyrazów podobnych otrzymujemy równanie:

stąd łatwo wyliczymy, że
teraz pozostaje do wyznaczenia zatem naszego wyznaczonego już wstawiamy do któregoś z równań:

i ta para jest jedynym rozwiązaniem naszego układu równań

Metoda podstawiania

Metoda ta polega na wyznaczeniu jednej niewiadomej z jednego z równań układu, i podstawieniu wyznaczonej niewiadomej do drugiego równania. W ten sposób uzyskujemy równanie liniowe z jedną niewiadomą. Wyznaczoną z tego równania niewiadomą podstawiamy do drugiego równania i otrzymujemy wartość drugiej niewiadomej.

Przykład:
Rozwiążmy metoda podstawiania układ z poprzedniego przykładu tj.
Wyznaczmy z pierwszego równania niewiadomą x:
najpierw przenosimy wszytko, co nie stoi przy tej niewiadomej przenosimy na druga stronę:

teraz dzielimy przez współczynnik stojący przy naszej niewiadomej, aby uzyskać samą niewiadomą (skorzystamy od razu z faktu, ze dzielenie to mnożenie przez odwrotność):

upraszczamy tj wymnażamy i otrzymujemy
no i mamy wyznaczony
teraz postawiamy go do drugiego równania:

porządkujemy drugie równanie:

i rozwiązując drugie równanie układu otrzymamy układ postaci
podstawiając wyliczony do pierwszego równania i rozwiązujac je otrzymamy rozwiązanie :

Metoda graficzna:
Pozornie najprostsza metoda, polegająca bowiem na przekształceniu obu równań układu do postaci funkcji liniowej tj , narysowaniu obu funkcji w jednym układzie współrzędnych i odczytanie współrzędnych punktu przecięcia.I w tym ostatnim jest największy problem, gdyz niekiedy ciężko jest odczytac dokładne współrzędne np takie jak wyszły w poprzednim przykładzie, jednak niejednokrotnie metoda ta okazuje sie najszybsza:

Przykład:
Rozwiążmy graficznie układ
zatem przekształcamy oba równania do postaci funkcji liniowej:
najpierw przenosimy wyrazy bez na drugą stronę:

a następnie dzielimy przez wyraz stojący przy

rysujemy te dwie funkcje i odczytujemy, ze punktem przecięcia jest punkt czyli rozwiązaniem układu jest

Część II tego artykułu znajdziecie pod adresem: http://matma4u.pl/uklady-rownan-liniowych-...ssa-t10872.html