[A] Macierz zespolona - policzyć "z" - Matematyk - forum matematyczne (matematyka i fizyka)

Pamiętaj! Nie rozwiązujemy zadań poprzez: e-mail, PW, GG itp. Weź udział w projekcie »Referaty Młodych Matematyków«

Matematyk - forum matematyczne > Działy matematyczne > Algebra > Macierze

Tagi

Co to są Tagi?
Tagi są czymś w postacii etykiety/hasła kluczowego. Pomogają innym użytkownikom (również Tobie) na odnalezienie interesujących ich treści . Do każdego tematu możesz dodać ile chcesz tagów.

Macierze

W dziale tym umieszczamy zagadnienia z zakresu:

macierz: kwadratowa, diagonalna, jednostkowa, zerowa, symetryczna, odwrotna, transponowana
dodawanie i mnożenie macierzy , iloczyn tensorowy (w sensie Kroneckera), iloczyn Cauchy’ego
wyznacznik macierzy, metoda Sarrusa, rozwinięcie Laplace’a, minor
osobliwość, nieosobliwość, rząd macierzy
wzory Cramera, twierdzenie Kroneckera-Capelli’ego, metoda eliminacji Gaussa-Jordana.

Dodaj link do:

[A] Macierz zespolona - policzyć "z"

Opcje

coxx Zobacz profil	9.02.2010, 0:39 Post #1
Ułamek Grupa: Użytkownik Postów: 9 Punkty: 0 (zobacz listę) Dołączył: 28.11.09 MimeTeX - poradnik	Witam po raz kolejny dzisiaj, może tym razem nie powędruje to na śmietnik... Zad 3 W zbiorze liczb zespolonych rozwiązać równanie: $\begin{vmatrix}i & zsp & 0 \\ 0 & zsp & z \\ 1 & 0 & zsp\end{vmatrix}=0$ {mój komentarz}: zsp oznacza liczbę sprzeżoną do z, nie wiem jak w mimetexie zrobić symbol (pozioma kreska) sprzężenia Rozwiązania zaznaczyć na płaszczyźnie zespolonej... Będe wdzięczny dozgonnie za rozwiązanie

Afroman	Dzisiaj, 11:18 Post #

etrapez.pl Zobacz profil	11.02.2010, 9:09 Post #2
Nowicjusz Grupa: Użytkownik Postów: 1 Punkty: 0 (zobacz listę) Dołączył: 11.02.10 Skąd: Police MimeTeX - poradnik	Cześć Zadanie łączy w sobie dwa zagadnienia: 1. Musisz policzyć wyznacznik z macierzy trzeciego stopnia 2. Musisz rozwiązać równanie zespolone Zaczynamy od 1: $\left\| {\matrix{<br /> i & {\bar z} & 0 \cr <br /> 0 & {\bar z} & z \cr <br /> 1 & 0 & {\bar z} \cr <br /><br /> } } \right\| = ?$ Dopisujemy dwa pierwsze wiersze i liczymy regułą Sarrusa, tych "z" i ich sprzężeń się nie boimy $\left\| {\matrix{<br /> i & {\bar z} & 0 \cr <br /> 0 & {\bar z} & z \cr <br /> 1 & 0 & {\bar z} \cr <br /> i & {\bar z} & 0 \cr <br /> 0 & {\bar z} & z \cr <br /><br /> } } \right\| = i \cdot \bar z \cdot \bar z + 0 \cdot 0 \cdot 0 + 1 \cdot \bar z \cdot z - 0 \cdot \bar z \cdot 1 - z \cdot 0 \cdot i - \bar z \cdot \bar z \cdot 0 = i \cdot {\left( {\bar z} \right)^2} + \bar zz$ Wyznacznik mamy. Teraz trzeba rozwiązać równanie zespolone: $i \cdot {\left( {\bar z} \right)^2} + \bar zz = 0$ Podstawiamy $z = x + iy$ i mamy: $i \cdot {\left( {x - iy} \right)^2} + \left( {x - iy} \right)\left( {x + iy} \right) = 0$ $i \cdot \left( {{x^2} - 2xyi + {i^2}{y^2}} \right) + {x^2} - xyi + xyi - {y^2}{i^2} = 0$ $i \cdot \left( {{x^2} - 2xyi - {y^2}} \right) + {x^2} + {y^2} = 0$ (bo ${i^2} = - 1$ ) ${x^2}i - 2xy{i^2} - {y^2}i + {x^2} + {y^2} = 0$ ${x^2}i + 2xy - {y^2}i + {x^2} + {y^2} = 0$ Teraz porównujemy do siebie części rzeczywistą i urojoną liczb zespolonych po obu stronach (tak się składa, że po prawej obie będą 0): $\left\{ \matrix{<br /> 2xy + {x^2} + {y^2} = 0 \hfill \cr <br /> {x^2} - {y^2} = 0 \hfill \cr} \right.$ Układ nie taki może prosty, ale ciekawy patent - pierwsze równanie można elegancko zwinąć we wzór skróconego mnożenia: $2xy + {x^2} + {y^2} = 0$ ${\left( {x + y} \right)^2} = 0$ $x + y = 0$ $y = - x$ Podstawiamy to do drugiego równania: ${x^2} - {\left( { - x} \right)^2} = 0$ ${x^2} - {x^2} = 0$ $0 = 0$ Równanie jest zawsze spełnione, mamy więc nieskończenie wiele rozwiązań, połączonych związkiem $y = - x$ Można to ładnie zapisać: $Odp.\quad z = x - ix\quad gdzie\;x \in R$ A jak przedstawić rozwiązanie na płaszczyźnie? Po prostu narysować prostą $y = - x$ Ciekawe zadanie, powodzenia na kolokwium/egzaminie/poprawce

tadpod Zobacz profil	11.02.2010, 11:27 Post #3
Wielki Analityk Grupa: $Jr Admin Postów: 4,054 Punkty: 1311 (zobacz listę) Dołączył: 21.12.07 Skąd: Szczecin MimeTeX - poradnik Nagrody (zobacz listę)	CYTAT(coxx @ 9.02.2010, 0:39) W zbiorze liczb zespolonych rozwiązać równanie: $\\|i\ \ \overline z\ \ 0\\ 0\ \ \overline z\ \ z\\ 1\ \ 0\ \ \overline z\\|=0$ . Rozwiązania zaznaczyć na płaszczyźnie zespolonej ... ... , no to może jeszcze tak niech $\bl z=x+iy$ , czyli $\bl \overline z=x-iy$ , wtedy $\re \\|i\ \ \overline z\ \ 0\\ 0\ \ \overline z\ \ z\\ 1\ \ 0\ \ \overline z\\|=0$ $\ \bl \Leftrightarrow\$ $i\cdot {\overline z}^2+\overline z\cdot z+0-0-0-0=0$ $\ \bl \Leftrightarrow\$ $i\cdot {\overline z}^2+\overline z\cdot z=0$ $\ \bl \Leftrightarrow\$ $\re \overline z\cdot (i\cdot \overline z+z)=0$ $\ \bl \Leftrightarrow\$ $\overline z=0\$ $\re lub\$ $i\cdot \overline z+z=0$ $\ \bl \Leftrightarrow\$ $\bl \Leftrightarrow\$ $x-iy=0\$ $\re lub\$ $i\cdot (x-iy)+x+iy=0$ $\ \bl \Leftrightarrow\$ $\{x=0\\ y=0$ $\re \ lub\$ $ix-i^2y+x+iy=0$ $\ \bl \Leftrightarrow\$ $(x,y)=0$ $\re \ lub\$ $x+y+i(x+y)=0$ $\ \bl \Leftrightarrow\$ $\bl \Leftrightarrow\$ $(x,y)=0$ $\re \ lub\$ $x+y=0$ $\ \bl \Leftrightarrow\$ $\re (x,y)=0$ $\bl \ lub\$ $\re y=-x$ $\ \bl \Leftrightarrow\$ $\fbox{\re y=-x}$ , czyli $\fbox{ \re z=x-ix\ i\ x\in R}$ , lub inaczej $\fbox{z=(1-i)x\ i\ x\in R}$ - szukany zbiór liczb zespolonych $\re z$ spełniających dane równanie , a graficznie na płaszczyźnie zespolonej jest to zbiór punktów $\re (x,y)=(x,-x)$ , czyli punktów prostej danej równaniem $\re y=-x$ ... $^{^{*R}}$