Cześć
Zadanie łączy w sobie dwa zagadnienia:
1. Musisz policzyć wyznacznik z macierzy trzeciego stopnia
2. Musisz rozwiązać równanie zespolone
Zaczynamy od 1:
Dopisujemy dwa pierwsze wiersze i liczymy regułą Sarrusa, tych "z" i ich sprzężeń się nie boimy
^2} + \bar zz$$ "$$\left| {\matrix{<br />
i & {\bar z} & 0 \cr <br />
0 & {\bar z} & z \cr <br />
1 & 0 & {\bar z} \cr <br />
i & {\bar z} & 0 \cr <br />
0 & {\bar z} & z \cr <br />
<br />
} } \right| = i \cdot \bar z \cdot \bar z + 0 \cdot 0 \cdot 0 + 1 \cdot \bar z \cdot z - 0 \cdot \bar z \cdot 1 - z \cdot 0 \cdot i - \bar z \cdot \bar z \cdot 0 = i \cdot {\left( {\bar z} \right)^2} + \bar zz$$")
Wyznacznik mamy. Teraz trzeba rozwiązać równanie zespolone:
^2} + \bar zz = 0$$ "$$i \cdot {\left( {\bar z} \right)^2} + \bar zz = 0$$")
Podstawiamy
i mamy:
^2} + \left( {x - iy} \right)\left( {x + iy} \right) = 0$$ "$$i \cdot {\left( {x - iy} \right)^2} + \left( {x - iy} \right)\left( {x + iy} \right) = 0$$")
 + {x^2} - xyi + xyi - {y^2}{i^2} = 0$$ "$$i \cdot \left( {{x^2} - 2xyi + {i^2}{y^2}} \right) + {x^2} - xyi + xyi - {y^2}{i^2} = 0$$")
 + {x^2} + {y^2} = 0$$ "$$i \cdot \left( {{x^2} - 2xyi - {y^2}} \right) + {x^2} + {y^2} = 0$$")
(bo
)
Teraz porównujemy do siebie części rzeczywistą i urojoną liczb zespolonych po obu stronach (tak się składa, że po prawej obie będą 0):
Układ nie taki może prosty, ale ciekawy patent - pierwsze równanie można elegancko zwinąć we wzór skróconego mnożenia:
^2} = 0$$ "$${\left( {x + y} \right)^2} = 0$$")
Podstawiamy to do drugiego równania:
^2} = 0$$ "$${x^2} - {\left( { - x} \right)^2} = 0$$")
Równanie jest zawsze spełnione, mamy więc nieskończenie wiele rozwiązań, połączonych związkiem
Można to ładnie zapisać:
A jak przedstawić rozwiązanie na płaszczyźnie?
Po prostu narysować prostą
Ciekawe zadanie, powodzenia na kolokwium/egzaminie/poprawce
Pomoc
